Bu makale, ASQ (American Society for Quality) tarafından yayınlanan Six Sigma Forum Magazine dergisinin 2005 yılı Mayıs sayısından alınarak aslına uygun olarak tercüme edilmiştir.

Çokbaşlılık fobisi: Anormallikten mantıksız şekilde korkmak

John Sall ve Bradley Jones / SAS Institute Inc. ve JMP Development

ARTIKLARIN NORMAL OLMAYAN DAĞILIMINDAN KORKMANIN FAYDASI YOKTUR.

Her istatistiksel prosedürde varsayımlar olur ve bize bu varsayımları ihlal etmekten korkmamız öğretilir(1). Örneğin standart karşılaştırma prosedürleri iki örnekli t testi, çiftli t testi ve varyans analizi (ANOVA) anlamına gelir ve bunların hepsinde artık hatanın normal olarak dağıldığı kabul edilir. Hata normal olarak dağılmışsa ve tüm diğer varsayımlar yerindeyse tüm test istatistikleri iddia edildiği şekilde dağılmıştır ve güven aralıklarına ve hipotez testlerine güvenilebilir.
Peki ya artıklar normal olarak dağılmadılarsa? Artıkların normal olup olmamaları konusunda ne kadar endişelenmeliyiz? Muhtemelen çok fazla endişelenmemize gerek yoktur çünkü:
• Büyük örneklerde anormalliği tespit etmek kolaydır ancak anormallik önemsizdir.
• Küçük örneklerde anormallik önemsiz olabilir ancak tespit etmeniz de mümkün değildir. 
Merkezi limit teoremine göre, büyük örneklerde veriler normal olmasa bile örnek boyutu artarken ortalama olabilirlik istatistikleri normal dağılımlara yaklaşır. Küçük örneklerde test istatistiğinin normal olması gerekmez ancak elimizdeki örnek bir şey söyleyebilmek için yeterli büyüklükte değildir.
Sık sık JMP'nin istatistik yazılımı geliştiricilerinden model uydurma uygulamalarında kolaylık olması açısından artık normalliği testleri üretmeleri isteniyor. Ancak bu yalnızca anormalliğin tespit edilebileceği ve önemsiz olmayacağı örnek boyutlarında faydalı olmaktadır. Simulasyon kullanarak araştıralım.

İki Normal Olmayan Hata Dağılımı
İki adet farklı ve normal olmayan hata dağılımı kullanarak iki grubun ortalamalarını karşılaştırmaya karar verdik: çifte üstel dağılım ve kaydırılmış kuşkulu dağılım. Çifte üstel dağılım simetriktir ancak aynı zamanda çokbasıktır (leptokurtotic, yani çok daha fazla tepe noktası vardır ve normal dağılıma göre daha sert kuyrukları vardır). Kaydırılmış kuşkulu dağılım normali ise sağa çarpıtılmış ve örnekler arasından rasgele seçilmiş %5'lik bir kısmın üç standart sapması kadar kaydırılmış normal bir dağılımdır.
Çifte üstel dağılım ise aşağıdaki JMP formülü ile simüle edilir:
If(randomUniform()>0.5,1,-1)*log(random Uniform())
Kaydırılmış kuşkulu dağılım aşağıdaki JMP formülünü kullanır:
10+5*(randomNormal()+(randomUniform()<0.05)*3).
Bu formüller, gerçek verilerde göreceğiniz güçlü ancak aşırı güçlü olmayan anormalliğin özelliklerini göstermektedir. Şekil 1'de simüle edilen çifte üstel dağılımın 10.000 noktası ve Şekil 2'de kaydırılmış kuşkulu dağılım gösterilmiştir. Düz kırmızı çapraz çizgi, verilerin normal dağılıma uymuş olsalardı nasıl görüneceklerine dair bir referanstır. Verilerin küçük nicelikler için çizginin altında, büyük nicelikler için ise çizginin üstünde bulunduklarına dikkat edin. Bu, çokbasık dağılımların bir özelliğidir. Orta bölgede bol miktarda olasılık kütlesi vardır ancak kuyruklarda az veri bulunur.
Kaydırılmış kuşkulu dağılımda normal nicelik grafiğindeki veriler (Şekil 2), büyük niceliklerde düz kırmızı çapraz çizginin üstünde bulunurlar. Bu da sağa çarpıtılmış dağılımların bir özelliğidir. Veriler normal olarak dağılmış olsalardı histogramın tepesi 40 değerini biraz geçmek yerine yaklaşık 30 civarında sonlanmış olurdu.

10.000  Monte Carlo Örneği
Daha sonra iki normal olmayan dağılım için 10 gözlemli 10.000 Monte Carlo simülasyonu oluşturan bir program yazdık.(2) Her örnek eşit boyutta iki gruba bölündü. Tasarım açısından iki grubun ortalamaları arasında herhangi bir fark yoktu. Ayrıca kontrol amacıyla standart normal dağılım için de 10.000 örnek ürettik.
Her örnek için ortalama farkını test etmek amacıyla tek yönlü analiz ve artıkların normalliğini test etmek için bir dağılım yaptık. Bu prosedürün tamamını 20, 30, 50, 70 ve 100'lük örnek boyutları için tekrar ettik.
İlk önce normal olmayan dağılımlar için 10.000 adet p değerinin grafiklerine bakalım. Unutmayın ki prosedürümüz, her örnek için gerçek fark olmayacak şekilde tasarlanmıştı. Rasgele varyasyon yüzünden 10.000 tek yönlü analizimizin p değerleri sıfır ve bir arasında üniform olarak dağılmalıdır. Üniform dağılım fonksiyonu ise F(x)=x çapraz çizgisidir.
Şekil 3'teki grafikleri üretmek için 10.000 adet p değerini sıraladık. Y ekseni, verilen bir anlamlılık olasılığından az veya bu olasılığa eşit olan 10.000 p değerinin oranını göstermektedir. X ekseni ise anlamlılık olasılıklarını (p değerlerini) göstermektedir. Her örnek farklı bir renkte gösterilmiştir.

(Makalenin tamamını görselleri ile beraber basılı nüshada bulabilirsiniz.)